1.18: Класифікувати багатокутники

Багатокутник – це будь-яка замкнута двовимірна фігура, яка повністю складається з відрізків ліній, які перетинаються у своїх кінцевих точках. Багатокутники можуть мати будь-яку кількість сторін і кутів, але сторони ніколи не можуть бути вигнутими. Відрізки називаються сторонами багатокутників, а точки, де перетинаються сегменти, називаються вершинами. Багатокутники можуть бути як опуклими, так і увігнутими. Термін увігнутий відноситься до печери, або багатокутник – «спелеологія». Всі зірки є увігнутими багатокутниками. Малюнок \(\PageIndex\) Опуклий багатокутник не прогинається. Опуклі багатокутники виглядають так: Малюнок \(\PageIndex\) Діагональ – це небічний відрізок лінії, який з’єднує дві вершини опуклого багатокутника. Малюнок \(\PageIndex\) Відрізки червоної лінії – це всі діагоналі. Цей п’ятикутник має 5 діагоналей. Незалежно від того, чи є багатокутник опуклим або увігнутим, він завжди називається за кількістю сторін. Дослідіть зв’язок між кількістю сторін опуклого багатокутника і його діагоналями. Чи можете ви заповнити таблицю?

Що робити, якщо вам сказали, скільки сторін має багатокутник? Як би ви описали багатокутник на основі цієї інформації?

Приклад \(\PageIndex<1>\) Яка з наведених нижче фігур є багатокутником? Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Найпростіший спосіб ідентифікувати багатокутник – визначити, які фігури не є багатокутниками. B і C мають принаймні одну вигнуту сторону, тому вони не є багатокутниками. D має всі прямі сторони, але одна з вершин знаходиться не в кінцевій точці, тому вона не є багатокутником. A – єдиний багатокутник.

Приклад \(\PageIndex<2>\) Визначте, чи є наведені нижче форми опуклими або увігнутими. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Щоб побачити, чи є багатокутник увігнутим, подивіться на багатокутники і подивіться, чи будь-який кут «печери» до внутрішньої частини багатокутника. Перший багатокутник цього не робить, тому він опуклий. Два інших роблять, тому вони увігнуті.

Приклад \(\PageIndex<3>\) Назвіть три багатокутники нижче за кількістю сторін і якщо він опуклий або увігнутий. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Рожевий багатокутник – увігнутий шестикутник (6 сторін). Зелений багатокутник опуклий п’ятикутник (5 сторін). Жовтий багатокутник являє собою опуклий декагон (10 сторін).

Приклад \(\PageIndex<4>\) Намалюйте 7-сторонній багатокутник, який також називають гептагоном. Скільки діагоналей має гептагон? Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Спочатку намалюйте гептагон. Намалювавши всі діагоналі і порахувавши їх, бачимо їх 14.

Приклад \(\PageIndex<5>\) True або false: Чотирикутник – це завжди квадрат. Рішення Помилкові. Тільки чотирикутники з чотирма конгруентними сторонами і чотирма прямими кутами будуть квадратами. Існує багато чотирикутників (таких як прямокутники, повітряні змії, паралелограми, трапеції тощо), які не обов’язково є квадратами.

Рецензія

1. Малюнок \(\PageIndex\)
2. Малюнок \(\PageIndex\)
3. Малюнок \(\PageIndex\)
4. Малюнок \(\PageIndex\)
5. Малюнок \(\PageIndex\)
6. Малюнок \(\PageIndex\)
7. Поясніть, чому наступні цифри НЕ є багатокутниками: Малюнок \(\PageIndex\)
8. Скільки діагоналей можна намалювати з однієї вершини п’ятикутника? Намалюйте ескіз вашої відповіді.
9. Скільки діагоналей можна намалювати з однієї вершини восьмикутника? Намалюйте ескіз вашої відповіді.
10. Скільки діагоналей можна намалювати з однієї вершини додекагона?
11. Визначте кількість загальних діагоналей для восьмикутника, нонагону, декагону, ундекагону та додекагону.

Для 12-14 визначте, чи є твердження істинним чи хибним.

1. Багатокутник повинен бути укладений.
2. Зірка – це опуклий багатокутник.
3. 5-точкова зірка – декагон.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.12.

Скільки сторін має опуклий багатокутник якщо кожен його кут дорівнює 120 градусів

Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів.

Ламана називається замкнутою, якщо у неї кінці співпадають.

Довжиною ламаної називається сума довжин її ланок.

Проста замкнута ламана називається багатокутником, якщо її сусідні ланки не лежать на одній прямій. Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника, а ланки ламаної – сторонами багатокутника.

Дві сторони багатокутника називають сусідніми, якщо вони мають спільну вершину. «A₁A_n» та «A₁A₂» сусідні, оскільки у них є спільна вершина «A₁».

Якщо ж сторони багатокутника не мають спільної вершини, їх називають не сусідніми. «A₁A_n» та «A₂A₃» не сусідні, оскільки у них не має спільної вершини.

Відрізки, які з’єднують не сусідні вершини багатокутника, називаються діагоналями. «A₁ A₃», «A₁ A_n-1», «A₂A_n-1», …, – діагоналі багатокутника.

Кількість діагоналей n-кутника можна знайти за формулою:

Суму довжин усіх сторін багатокутника називають периметром багатокутника.

Найменше число сторін (а також вершин) багатокутника – три. У такому випадку маємо трикутник. Багатокутник з n–вершинами, тобто з n–сторонами, називається n–кутником.

Кути, що утворюються при сусідніх сторонах, називаються кутами багатокутника (внутрішніми). «a», «b», «c» – кути багатокутника (внутрішні).

Багатокутник у якого всі кути є менші за розгорнутий (менші за «180» градусів), називається опуклим.

Якщо хоча б один кут багатокутника є більшим за розгорнутий (за «180» градусів), то такий багатокутник, називають неопуклим або випуклим.

Суму кутів (внутрішніх) опуклого n-кутника можна знайти так:

Кути які є суміжними до кутів багатокутника (до внутрішніх кутів) називаються зовнішніми кутами багатокутника. «a», «b» – внутрішні кути; «c», «d» – зовнішні кути.

Сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює «360» градусів (завжди).

Правильним багатокутником називають опуклий багатокутник, у якого всі сторони рівні та всі кути рівні.

Позначимо через «α_n» – внутрішній кут правильного n–кутника.

У такому випадку щоб знайти градусну міру внутрішнього кута правильного n–кутника можна скористатися формулою:

Цю формулу запам’ятати доволі просто. У чисельнику знаходиться формула суми всіх кутів багатокутника, а у знаменнику їх кількість.

Багатокутник називається вписаним, якщо усі його вершини лежать на колі. При цьому кажуть, що коло є описаним навколо багатокутника.

Багатокутник називається описаним, якщо усі його сторони є дотичними до кола. При цьому кажуть, що коло є вписаним у багатокутник.

Якщо багатокутник правильний, то у нього можна вписати коло та навколо нього можна описати коло. При цьому центри вписаного та описаного кола збігаються.

Коло, вписане у правильний багатокутник дотикається до його сторін по середині.

У багатокутниках є формули, що пов’язують між собою сторону багатокутника та радіус вписаного/описаного кола. Розглянемо їх.

Будемо використовувати наступні позначення: «a_n» – сторона правильного n-кутника; «r» – радіус вписаного кола у правильний n-кутник; «R» – радіус описаного кола навколо правильного n-кутника.

Сторону правильно n-кутника («a_n») можна знайти використавши радіус вписаного кола («r») за допомогою формули:

З цієї формули радіус вписаного кола можна знайти так:

Також сторону правильно n-кутника («a_n») можна знайти використавши радіус описаного кола («R») за допомогою формули:

З цієї формули радіус описаного кола можна знайти так:

Також ми можемо знайти радіус вписаного кола маючи при цьому радіус описаного кола:

Застосуємо теорію на практиці. Розберемо декілька прикладів:

Задача 1: Скільки всього діагоналей має десятикутник?

Кількість діагоналей n-кутника можна знайти за формулою:

Де «n» кількість вершин. Оскільки, ми маємо десятикутник, то «n = 10». В такому випадку будемо мати:

Отже, у десятикутника буде «35» діагоналей.

Задача 2: Чому дорівнює сума внутрішніх кутів опуклого дванадцятикутника?

Суму внутрішніх кутів n-кутника можна знайти за формулою:

Де «n» кількість вершин. Оскільки, ми маємо дванадцятикутник, то «n = 12». В такому випадку будемо мати:

Отже, сума внутрішніх кутів дванадцятикутника буде рівна «1800» градусів.

Задача 3: Скільки вершин має опуклий багатокутник, якщо сума його внутрішніх кутів дорівнює «900» градусів?

Позначимо суму внутрішніх кутів n-кутника як «a_n», тоді матимемо «a_n = 900».

А суму внутрішніх кутів n-кутника можна знайти за формулою:

Тобто, ми будемо мати такий запис:

Звідси, врахувавши «a_n = 900°», матимемо:

Отже, отримали лінійне рівняння зі змінною «n». Розв’яжемо його:

Отже, наший багатокутник буде мати «7» вершин (кутів).

Задача 4: Чому дорівнює внутрішній кут правильного восьмикутника?

Позначимо через «n» кількість кутів. За умовою задачі ми маємо восьмикутник, тому матимемо: «n = 8».

Градусну міру внутрішнього кута позначимо як «а».

Для того щоб знайти градусну міру внутрішнього кута n-кутника ми можемо скористатися формулою:

Отже, внутрішній кут восьмикутника буде «135» градусів.

Задача 5: Скільки сторін має правильний багатокутник, якщо його внутрішній кут дорівнює «156» градусів?

Позначимо через «n» кількість кутів. А через «a_n» градусну міру внутрішнього кута багатокутника, матимемо: «a_n = 156».

Для того щоб кількість кутів багатокутника ми можемо скористатися формулою:

Ми маємо раціональне рівняння відносно змінної «n». Детальніше читайте тут.

Отже, багатокутник має «15» вершин.

Задача 6: Скільки сторін має правильний багатокутник, якщо його зовнішній кут дорівнює «20» градусів?

Враховуючи, що зовнішній кут має «20» градусів, то позначимо його як «b» і матимемо «b = 20».

Для того щоб знайти кількість сторін багатокутника нам варто знайти внутрішній кут багатокутника. Позначимо внутрішній кут як «а».

Враховуючи, що внутрішній та зовнішній кут багатокутника є суміжними, то ми можемо скористатися властивістю, що сума суміжних кутів рівна «180» градусів. Отже, матимемо:

Підставимо значення та отримаємо лінійне рівняння відносно змінної «а».

Позначимо через «n» кількість кутів багатокутника.

Для того щоб кількість кутів багатокутника ми можемо скористатися формулою:

Ми маємо раціональне рівняння відносно змінної «n». Детальніше читайте тут.

Отже, багатокутник має «18» вершин.

Задача 7: Кути п’ятикутника пропорційні до чисел «3, 5, 5, 6, 8». Знайти ці кути.

Враховуючи, що ми маємо відношення п’яти чисел, то це означає, що ми матимемо п’ять вершин («n = 5»). Використаємо такі позначення для цих кутів: «a₁», «a₂», «a₃», «a₄», «a₅».

Тому ми будемо мати таке співвідношення:

Отже, ми будемо мати такі значення наших кутів:

Для того щоб знайти ці кути нам варто знайти суму всіх кутів. Скористаємося формулою:

Отже, сума всіх кутів багатокутника є рівною «540» градусів. Після чого ми матимемо:

Підставимо значення та отримаємо:

Розв’яжемо отримане рівняння:

Відповідь: 60; 100; 100; 120; 160.

Задача 8: Сторона правильного шестикутника дорівнює «10» см. Знайти його найбільшу діагональ.

Намалюємо правильний шестикутник «ABCDEF» («n» – кількість сторін, «n = 6»). Проведемо у ньому діагоналі «BD» і «AD». Також намалюємо описане коло навколо цього багатокутника.

Як помітно у нас утворився прямокутний трикутник «ABD». З гіпотенузою «AD». З властивості кола ми знаємо, що гіпотенуза прямокутного трикутника який вписаний у коло є одночасно діаметром і центр кола знаходиться по середині гіпотенузи.

Отже, щоб знайти довжину відрізка «AD», то нам необхідно знайти радіус описаного кола. Радіус описаного кола позначимо через «R» врахувавши, що у нас є правильний шестикутник, то радіус зможемо знайти використавши формулу:

Враховуючи, що сторона «AD» є діаметром, то нам необхідно помножити радіус на «2».

Задача 9: Радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, дорівнює «8√3» см. Знайти периметр шестикутника.

Нам необхідно знайти периметр. Оскільки, периметр це сума всіх сторін, а шестикутник («n = 6») у нас є правильним (тобто всі сторони рівні), то нам необхідно знайти будь-яку сторону.

Враховуючи, що ми маємо радіус вписаного кола (позначимо через «r», «r = 8√3»), то щоб знайти сторону (позначимо як «а») можна скористатися формулою:

Враховуючи, що шестикутник є правильним, то щоб знайти периметр можна помножити кількість сторін на довжину однієї. Матимемо:

Задача 10: Скільки сторін має опуклий багатокутник, у якого сума внутрішніх кутів дорівнює сумі його зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині?

Враховуючи, що сума зовнішніх кутів багатокутника взятих по одному при кожній вершині завжди рівна «360» градусів, то це означає, що сума внутрішніх кутів теж рівна «360» градусів.

Оскільки, сума внутрішніх кутів чотирикутника рівна «360» градусів, то відповідно наший багатокутник має «4» сторони.

Задача 11: Скільки сторін має опуклий багатокутник, якщо сума всіх його внутрішніх кутів і всіх зовнішніх дорівнює «2520» градусів.

Для того щоб знайти кількість вершин n-кутника можна скористатися формулою суми внутрішніх кутів:

Але на справді цю формулу можна сприймати як: «сума всіх кутів відняти суму зовнішніх кутів» («180n – 360»). Враховуючи цю умову ми можемо сказати, що суму всіх кутів (внутрішні + зовнішні) можна знайти так: «180n». Оскільки, нам ця сума є відома, то кількість кутів n-кутника можна знайти так:

Другий варіант розв’язання заключається в тому, що ми від загальної суми віднімаємо суму зовнішніх кутів, а потім застосовуємо формулу суми внутрішніх кутів багатокутника.

Задача 12: Скільки вершин має правильний багатокутник, у якого внутрішній кут у «8» разів більший від зовнішнього?

Враховуючи, що ми маємо правильний багатокутник, то у нього всі внутрішні кути рівні між собою та зовнішні між собою. Позначимо зовнішній кут як «b», а внутрішній як «a».

У нашому випадку градусна міра зовнішнього кута є невідомою, тому позначимо її через «х»:

А внутрішній кут є у «8» разів більший за зовнішній, тому матимемо:

Врахуємо, що зовнішній та внутрішній кут при одній вершині суміжними. Тому ми можемо скористатися властивістю, що сума суміжних кутів рівна «180» градусів.

Скористаємося формулою знаходження внутрішнього кута n-кутника:

Задача 13: Три кути багатокутника прямі, а решта дорівнюють по «150» градусів. Скільки вершин має багатокутник?

В даному прикладі варто орієнтувати на суму зовнішніх кутів багатокутника. Оскільки вона завжди рівна «360» градусів, то нам варто з’ясувати скільки необхідно кутів щоб отримати цю суму.

Врахуємо, що ми маємо три кути по «90» градусів, тому ми маємо і три зовнішні кути теж «90» градусів (бо зовнішній та внутрішній кут при одній вершині є суміжними, а сума суміжних кутів рівна «180» градусів).

Тому, ми маємо: «90 + 90 + 90 = 270» градусів зайнятих.

Отже, залишилося ще «360 – 270 = 90» градусів.

Оскільки, інші внутрішні кути є по «150» градусів, то зовнішній кут при цій вершині буде «30» градусів («180 – 150 = 30»). Вийде, що нам необхідно ще три таких кути, бо «30 + 30 + 30 = 90».

Отже, ми маємо три внутрішні кути по «90» та три внутрішні кути по «150» градусів. Звідси слідує, що ми маємо шестикутник.

Чотирикутники

Формули площ плоских фігур

Поширити у Фейсбук Поширити у Вконтакті Поширити в Однокласниках Поширити у Телеграмі Поширити у Піні Поширити у Твітері Поширити у Мій світ

Безкоштовний вчитель

Кожен, хто перестає вчитися, старіє, – не важливо, в 20 або 80 років, – а будь-який інший, хто продовжує вчитися, залишається молодим. Найважливіше в житті – це зберегти мозок молодим. Генрі Форд

Контакти

м. Львів: 8-й Скнилівський провулок, буд. 6