Види середніх величин і способи їх обчислення
Залежно від характеру усереднюваної ознаки і наявної вихідної інформації в статистиці застосовуються різні види середніх величин, серед яких найбільше використовуються такі: середня арифметична, середня гармонічна, середня геометрична і середня квадратична.
Поряд з переліченими видами середніх величин в статистичній практиці знаходять застосування також середня хронологічна, середня ковзна, середня прогресивна, середня багатовимірна і так звані структурні середні: мода, медіана та ін.
Кожну середню можна визначити як просту, коли значення варіант спостерігаються тільки один раз або однакову кількість разів, і як зважену, коли значення варіант повторюється різну кількість разів. Уведемо такі позначення і поняття середніх: х – середнє значення досліджуваної ознаки; х – окремі значення усереднюваної ознаки (варіанти);
п – число одиниць досліджуваної сукупності; / – частота повторень (вага) варіант; Щ = х/- обсяг явищ. Ознаку, за якою знаходять середню, називають усередненою ознакою. Величину ознаки кожної одиниці сукупності називають варіантою або значенням досліджуваної ознаки. Частоту повторень варіантів у сукупності називають статистичною вагою.
Середні величини, що застосовуються в статистиці, належать до загального типу степеневих середніх. Відрізняються вони тільки показником степені. Математична статистика виводить різні середні з формули степеневої середньої, яка являє собою корінь к-ої степені з частки від ділення суми індивідуальних значень ознаки к-ої степені на число індивідуальних значень:
де к – показник степені, який визначає тип середньої. Підставляючи у наведену формулу замість к відповідні значення показника степені, одержимо такі середні:
Вибір того чи іншого виду середньої визначається цілями і завданнями дослідження і наявною інформацією.
Загальною умовою правильного обчислення усіх видів середніх є збереження незмінним загального обсягу варіюючої ознаки при заміні індивідуальних значень ознак їхньою середньою. Так, середня арифметична застосовується тоді, коли обсяг варіюючої ознаки утворюється як сума окремих варіант; середня гармонічна – коли обсяг варіюючої ознаки утворюється як сума обернених значень окремих варіант; середня геометрична – коли обсяг варіюючої ознаки утворюється як добуток окремих варіант; середня квадратична – коли обсяг варіюючої ознаки утворюється як сума квадратів окремих варіант.
Розглянемо перелічені вище види середніх більш докладно.
Середня арифметична
Середня арифметична – найпоширеніший вид середньої. Середня арифметична проста являє собою частку від ділення суми індивідуальних значень ознаки на їх загальне число. її обчислюють за формулою:
Середня арифметична проста застосовується в тих випадках, коли відомі дані про окремі значення ознаки та їх число в сукупності, тобто розраховується у разі, коли є незгруповані індивідуальні значення ознаки. В статистичній практиці вона застосовується, як правило, для розрахунку середніх рівнів ознак, представлених у вигляді абсолютних показників. Наприклад, якщо є дані про посівну площу овочів у трьох бригадах господарства (га): 47, 65 і 38 і необхідно визначити середній розмір посівної площі, то розрахунок середньої величини необхідно здійснювати за формулою середньої арифметичної простої оскільки значення усереднюваної ознаки зустрічаються однакове число раз (по одному разу):
Отже, середній розмір посівної площі з розрахунку на одну бригаду становить 50 га.
Середня арифметична зважена обчислюється із значень варіюючої ознаки з урахуванням ваг. її застосовують у тих випадках, коли значення ознаки представлені у вигляді варіаційного ряду розподілу, в якому чисельність одиниць по варіантах не однакова, а також при розрахунку середньої із середніх при різному обсязі сукупності. Зважування в даному випадку здійснюється за частотами, які показують скільки разів повторюється та або інша варіанта. Формула середньої арифметичної зваженої має вигляд:
Отже, при обчисленні середньої арифметичної зваженої необхідно всі значення варіант помножити на їхню частоту, одержані добутки підсумувати і цю суму розділити на суму частот, тобто загальний обсяг сукупності.
За аналогічною формулою визначається загальна середня (х”г) з групових середніх (хгр), якщо чисельність одиниць по групах (/Ір) неоднакова:
Розглядаючи формулу середньої арифметичної зваженої, можна помітити, що вона не має принципової відміни від простої середньої арифметичної. Тут підсумування / раз одного і того самого варіанта (х) замінюють множенням його на число повторень (частоту -/).
Порядок розрахунку середньої арифметичної у варіаційному ряду розподілу покажемо на прикладі середнього настригу вовни по групі господарств (табл. 4.1).
Таблиця 4.1. Дані для розрахунку середньої арифметичної зваженої
Оскільки значення усереднюваної ознаки (настриг вовни) повторюється неоднакове число раз, то середній настриг вовни визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:
При розрахунку середньої арифметичної зваженої частотами (вагами) можуть бути використані відносні показники структури, виражені в процентах або коефіцієнтах (частках). Методика розрахунку середньої і кінцевий результат при цьому не зміняться.
Якщо частоти виражені в процентах, то формула середньої арифметичної зваженої може бути записана в такому виді:
де і, = -100 – питома вага кожної частини в загальному обсязі всіх частот (в процентах).
Оскільки для всієї сукупності £ сі’ = 100%, то формулу можна записати так:
Якщо частоти виражені в коефіцієнтах (частках), £ 1, тоді формула середньої спрощується:
Порядок і послідовність розрахунку середньої арифметичної для випадків, коли вагами використовуються відносні показники структури, розглянемо на даних того самого прикладу (табл. 4.1).
Якщо вагами взяті частоти, виражені в процентах, то середній настриг вовни на вівцю становитиме:
а якщо частості: х = £, = 0,16 + 0,69 +1,60 +1,10 + 0,42 = 3,97 кг.
Отже, одержані ті самі результати як і при розрахунку середньої арифметичної зваженої звичайним способом.
Для інтервальних варіаційних рядів розподілу, в яких значення ознаки дано в межах “від – до”, середню арифметичну зважену знаходять в такій послідовності. Спочатку необхідно інтервальний ряд розподілу перетворити в дискретний. Для цього по кожному інтервалу знаходять його середину (центр). Серединне значення інтервалу звичайно визначають як півсуму його нижньої і верхньої меж. Наприклад, для інтервального ряду розподілу господарств за надоєм молока на корову (ц): 26 – 28, 28 – 30, 30 – 32 і т.д. серединами інтервалів будуть (ц): 27 = (26+28):2; 29 = (28+30):2; 31 = (30+32):2 і т.д.
Якщо є інтервали з нечітко вираженими межами, з так званими “відкритими межами” (перший інтервал “до” і останній – “понад”), то для визначення серединного значення потрібно встановити умовні межі цих інтервалів. Звичайно в цих випадках вирішують так: для першого інтервалу беруть величину другого інтервалу, а для останнього – величину передостаннього інтервалу.
Покажемо перехід від інтервалів з відкритими межами до інтервалів із закритими межами на такому прикладі розподілу господарств за середньодобовим прирістом відгодівельного поголів’я свиней (г):
відкриті інтервали до 350 350 – 400 400 – 450
300 – 350 350 – 400 400 – 450 450 – 500 500 – 550.
Після того як знайдені середини інтервалів, середню арифметичну зважену обчислюють так, як і в дискретному ряду розподілу: значення варіант множать на частоти і одержану суму добутків ділять на суму частот.
Порядок розрахунку середньої арифметичної в інтервальному ряду розподілу розглянемо на прикладі розподілу 100 господарств за надоєм молока на корову (табл. 3.10). Всі розрахунки зведемо в табл. 4.2.
Таблиця 4.2. Дані для розрахунку середньої арифметичної в інтервальному ряду розподілу
Середній надій на корову знайдемо за середньою арифметичною зваженою:
Обчислення середньої з інтервального ряду розподілу має деякі особливості, пов’язані з визначенням середини інтервалу. Визначення варіанти як півсуми верхньої і нижньої меж виходить з припущення, що індивідуальні значення ознаки всередині інтервалу розподіляються рівномірно і, отже, середні значення інтервалів досить близько примикають до середньої арифметичної в кожній групі. В дійсності це не завжди так, тому середні, обчислені з інтервальних рядів, є приблизними.
Статистика (МН)
Найбільш поширеною формою статистичних показників, які використовуються в соціально-економічних дослідженнях є середня величина.
Широке застосування середніх пояснюється тим, що вони мають декілька позитивних властивостей. Які роблять їх незамінними при аналізі явищ та процесів суспільного життя.
Найважливішою властивістю середніх є те, що вони відображають значення ознаки, характерне для загальних , визначальних умов усієї сукупності. При розрахунку середньої величини індивідуальні коливання ознаки абстрагуються по окремим одиницям сукупності. Внаслідок випадкового характеру і різного напряму ці коливання по сукупності взаємно урівноважуються, погашаються при усередненні і в середній величині виявляються загальні властивості, характерні для даного масового явища.
Отже, середні величини використовуються для узагальненої характеристики сукупностей за істотними ознаками, для порівняння цих ознак у різних сукупностях.
При обчисленні середніх у соціально-економічних дослідженнях необхідно чітко усвідомити визначальну властивість сукупності та логіко-математичну суть – логічну формулу – показника.
Чисельник логічної формули середньої являє собою обсяг значень (визначальну властивість) ознаки, що варіює, а знаменник – обсяг сукупності. Як правило, визначальна властивість – це реальна абсолютна чи відносна величина, яка має самостійне значення в аналізі. У кожному конкретному випадку для реалізації логічної формули використовується певний вид середньої. Зокрема:
г) середня геометрична і т. д.
Залежно від характеру первинної інформації середня будь-якого виду може бути простою чи зваженою. Позначається середня символом ( риска над символом означає усереднення індивідуальних значень) і вимірюється в тих самих одиницях, що і ознака.
Оскільки для більшості соціально-економічних явищ характерна адитивність обсягів( виробництво цукру, витрати палива тощо), то найпоширенішою є арифметична середня. Її застосовують тоді, коли загальний обсяг варіюючої для всієї сукупності становить суму індивідуальних значень усередненої ознаки.
Середню арифметичну визначають як відношення суми окремих значень ознаки до кількості одиниць сукупності. Розрізняють середню арифметичну просту і зважену.
Середню арифметичну просту застосовують тоді. Коли відомі індивідуальні значення усередненої ознаки у кожної одиниці сукупності. Її визначають за формулою:
, де – середнє значення ознаки; x – окремі значення ознаки (т.б. варіанти); n – кількість одиниць сукупності.
У великих за обсягом сукупностях окремі значення ознаки (варіанти) можуть повторюватись. В такому разі застосовують середню арифметичну зважену.
Отже, середню арифметичну зважену обчислюють тоді, коли окремі значення усередненої ознаки повторюються в досліджуваній сукупності неоднакове число разів, а також для обчислення середньої із середніх при різному обсязі сукупності. Зважування в цьому разі повторюється за частотами , які показують, скільки разів повторюється певний варіант. Середню арифметичну зважену визначають за такою формулою:
Формально між середньою арифметичною простою і середньою арифметичною зваженою немає принципових відмінностей. Адже багаторазове ( f разів) підсумовування значень однієї варіанти замінюється ноканням варіант x на вагу f . проте функціонально середня зважена більш навантажена, оскільки враховує поширеність, повторюваність кожної варіанти і певною мірою відображає склад сукупності. Значення середньої зваженої залежить не лише від значень варіант, а й від структури сукупності. Чим більшу вагу мають малі значення ознаки, тим менша середня, і навпаки.
В інтервальних варіаційних рядах значення усередненої ознаки обчислюють не за конкретними числами, а за величинами, вираженими у вигляді інтервалів (“від-до”). Для розрахунку середньої з інтервального ряду треба знайти середнє значення інтервалу по кожній групі.
Моментні показники замінюються середніми як півсума значень за початок і кінець періоду якщо моментів більш, ніж два, а інтервали часу між ними рівні, то в чисельнику до півсуми крайніх значень додають усі проміжні, а знаменником є число значень ознаки. Таку формулу називають середньою хронологічною:
Середню гармонічну використовують для узагальненої характеристики ознаки тоді, коли відомі окремі значення досліджуваної ознаки і обсяги явищ, а частоти невідомі. Середня гармонічна – це обернена величина середньої арифметичної, обчисленої з обернених значень усереднених ознак. Вона буває простою і зваженою. Формула середньої гармонічної простої має такий вигляд:
, де x – варіанти; n – кількість варіантів.
На практиці частіше застосовують середню гармонічну зважену, формула якої має такий вид:
, де w – обсяги явищ, при цьому w = x * f .
Середню геометричну використовують для визначення середніх темпів зростання, тобто коли загальний обсяг явищ становить на суму, а добуток ознак x , або необхідно дати узагальнюючу характеристику інтенсивності розвитку явища за тривалий період.
Термінологічний словник.
Середні величини – це узагальнюючі кількісні показники, що характеризують типові розміри варіюючи ознак якісно однорідних сукупностей.
Рекомендована література.