Зміст:
Скільки діагоналей має опуклий восьмикутник
Розглянемо малюнок опуклого восьмикутника, даний у додатку. Кожна вершина з’єднується відрізками із 7 іншими. Але два з цих відрізків є діагоналями. Виходить, що з кожної вершини виходить діагоналей на 3 менше, ніж кількість усіх вершин. Для п’ятикутника – з кожної вершини виходять 5-3 = 2 діагоналі. для квадрата кожної вершини 4-3=1 діагональ. Трикутник діагоналей зовсім не має. Але! Кожна діагональ порахована двічі (зазначено на червоних діагоналях малюнка). Отже, цю кількість потрібно поділити на 2.
Таким чином: формула для знаходження числа діагоналей багатокутника d = n(n-3)/2, де d – число діагоналей, n – число сторін (вершин) багатокутника.
Число діагоналей восьмикутника d=8•(8-3)/2=20 ( діагоналей)
1.18: Класифікувати багатокутники
Багатокутник – це будь-яка замкнута двовимірна фігура, яка повністю складається з відрізків ліній, які перетинаються у своїх кінцевих точках. Багатокутники можуть мати будь-яку кількість сторін і кутів, але сторони ніколи не можуть бути вигнутими. Відрізки називаються сторонами багатокутників, а точки, де перетинаються сегменти, називаються вершинами. Багатокутники можуть бути як опуклими, так і увігнутими. Термін увігнутий відноситься до печери, або багатокутник – «спелеологія». Всі зірки є увігнутими багатокутниками. Малюнок \(\PageIndex\) Опуклий багатокутник не прогинається. Опуклі багатокутники виглядають так: Малюнок \(\PageIndex\) Діагональ – це небічний відрізок лінії, який з’єднує дві вершини опуклого багатокутника. Малюнок \(\PageIndex\) Відрізки червоної лінії – це всі діагоналі. Цей п’ятикутник має 5 діагоналей. Незалежно від того, чи є багатокутник опуклим або увігнутим, він завжди називається за кількістю сторін. Дослідіть зв’язок між кількістю сторін опуклого багатокутника і його діагоналями. Чи можете ви заповнити таблицю?
| Назва багатокутника | Кількість сторін | Кількість діагоналей | Опуклий приклад |
|---|---|---|---|
| Трикутник | 3 | 0 | Малюнок \(\PageIndex\) |
| Чотирикутник | 4 | 2 | Малюнок \(\PageIndex\) |
| Пентагон | 5 | 5 | Малюнок \(\PageIndex\) |
| Шестигранник | 6 | 9 | Малюнок \(\PageIndex\) |
| Гептагон | 7 | ? | Малюнок \(\PageIndex\) |
| Восьмикутник | 8 | ? | Малюнок \(\PageIndex\) |
| Нонагон | 9 | ? | Малюнок \(\PageIndex\) |
| Декагон | 10 | ? | Малюнок \(\PageIndex\) |
| Ундекагон або хендекагон | 11 | ? | Малюнок \(\PageIndex\) |
| Додекагон | 12 | ? | Малюнок \(\PageIndex\) |
| n-кутник | n (де n> 12) | ? | Малюнок \(\PageIndex\) |
Що робити, якщо вам сказали, скільки сторін має багатокутник? Як би ви описали багатокутник на основі цієї інформації?
Приклад \(\PageIndex<1>\) Яка з наведених нижче фігур є багатокутником? Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Найпростіший спосіб ідентифікувати багатокутник – визначити, які фігури не є багатокутниками. B і C мають принаймні одну вигнуту сторону, тому вони не є багатокутниками. D має всі прямі сторони, але одна з вершин знаходиться не в кінцевій точці, тому вона не є багатокутником. A – єдиний багатокутник.
Приклад \(\PageIndex<2>\) Визначте, чи є наведені нижче форми опуклими або увігнутими. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Щоб побачити, чи є багатокутник увігнутим, подивіться на багатокутники і подивіться, чи будь-який кут «печери» до внутрішньої частини багатокутника. Перший багатокутник цього не робить, тому він опуклий. Два інших роблять, тому вони увігнуті.
Приклад \(\PageIndex<3>\) Назвіть три багатокутники нижче за кількістю сторін і якщо він опуклий або увігнутий. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Рожевий багатокутник – увігнутий шестикутник (6 сторін). Зелений багатокутник опуклий п’ятикутник (5 сторін). Жовтий багатокутник являє собою опуклий декагон (10 сторін).
Приклад \(\PageIndex<4>\) Намалюйте 7-сторонній багатокутник, який також називають гептагоном. Скільки діагоналей має гептагон? Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Спочатку намалюйте гептагон. Намалювавши всі діагоналі і порахувавши їх, бачимо їх 14.
Приклад \(\PageIndex<5>\) True або false: Чотирикутник – це завжди квадрат. Рішення Помилкові. Тільки чотирикутники з чотирма конгруентними сторонами і чотирма прямими кутами будуть квадратами. Існує багато чотирикутників (таких як прямокутники, повітряні змії, паралелограми, трапеції тощо), які не обов’язково є квадратами.
Рецензія
- Малюнок \(\PageIndex\)
- Малюнок \(\PageIndex\)
- Малюнок \(\PageIndex\)
- Малюнок \(\PageIndex\)
- Малюнок \(\PageIndex\)
- Малюнок \(\PageIndex\)
- Поясніть, чому наступні цифри НЕ є багатокутниками: Малюнок \(\PageIndex\)
- Скільки діагоналей можна намалювати з однієї вершини п’ятикутника? Намалюйте ескіз вашої відповіді.
- Скільки діагоналей можна намалювати з однієї вершини восьмикутника? Намалюйте ескіз вашої відповіді.
- Скільки діагоналей можна намалювати з однієї вершини додекагона?
- Визначте кількість загальних діагоналей для восьмикутника, нонагону, декагону, ундекагону та додекагону.
Для 12-14 визначте, чи є твердження істинним чи хибним.
- Багатокутник повинен бути укладений.
- Зірка – це опуклий багатокутник.
- 5-точкова зірка – декагон.
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.12.